C’est au bourg de Guilvinec ou du Guilvinec que naît François, au foyer de Jean-Marie Carrot marin et Marie Joncour, ménagère, il vient égayer ce foyer qui a perdu un enfant une année plus tôt. Il grandit avec son frère Michel qui naît une année plus tard.

Le Guilvinec, à la fin du XIXe siècle et durant la guerre 14-18 connaît un essor important , la pêche est abondante et le port fournit les halles parisiennes. Mais la guerre terminée, la crise sardinière prend de l’ampleur, la sardine quitte les parages, les usines ferment, la misère s'installe. Beaucoup de pêcheurs essaient de se faire réadmettre dans la Marine Nationale. François fréquente l'école primaire de son village et très vite , à l'âge de treize ans, le 20 juin 1925, il est déclaré apte à la navigation et embarque comme mousse à bord du "Mis Carvel" du Guilvinec jusqu'au 14 novembre 1925 puis sur " le Cygne " dont le port d'attache est au Croisic ,sur lequel il fait deux campagnes. Il rejoint son village natal,  "Le Guilviniste" l'accueille à son bord pour quatre campagnes de pêche. Il fréquente en même temps l’Abri du marin du Guilvinec, le premier créé au début du siècle par Jacques de Thésac, ethnologue et philanthrope pour aider les marins et leur famille, on y donne aussi quelques cours aux mousses. . Il reçoit son livret professionnel , devient inscrit maritime définitif le 20 octobre 1930. Il poursuit, durant deux années, ses campagnes sur le même bateau en tant que matelot puis sur le "Emilie-Marcelle "pour deux campagnes également dont la dernière se déroule du 1^er mars au 1^er septembre 1932.

Dès le 26 septembre de la même année il s’engage dans la marine nationale à Quimper et gagne le "2^edépôt" à Brest où le 14 octobre il est déclaré réformé définitif , il se retire alors au Guilvinec. Il est engagé volontaire le 24 janvier 1933 au "3^edépôt" à Lorient où il séjourne un mois avant d’embarquer sur «L’Armorique", bâtiment école des apprentis marins, il en sort le 1^eroctobre 1933 matelot gabier de 2^e classe. Dès le 21 du même mois en effet il est affecté sur le contre-torpilleur "Bison" de la "4^e division des contre-torpilleurs" d’abord puis de la 6^e à bord duquel il est promu quartier-maître.

C’est à ce moment qu’il épouse, le 5 décembre 1936, Odette Pochet qui lui donne en septembre 1937 une petite fille prénommée Marie Claire. Mais sa carrière continue, il quitte le "Bison "le 25 septembre 1937 pour un autre contre-torpilleur, le " Jaguar" ( 2eDCT), il reste à son bord jusqu’1^er avril 1938 et rejoint le "Chacal" (2^eDCT) affecté à cette date à l’École Navale, qui appartient à la même classe de bâtiment, il le quitte le 30 novembre 1938.Le 23 février 1939 il se rengage pour 3 ans. Un séjour de 6 mois au "2^e dépôt" est interrompu par un long embarquement de 32 mois sur le cuirassé "Provence" durant lequel la Seconde Guerre Mondiale a éclaté. La flotte française est limitée en nombre du fait des accords d'armistice avec l’Allemagne. Le 1^er janvier 1940, il est promu second maître. Son bâtiment est touché par un obus au large d’Oran en juillet 1940 mais échappe à l’attaque de Mers El Kebir. Le 25 février 1942, il reçoit une nouvelle affectation sur l’aviso "Surprise" qui, en septembre 1942, rejoint Oran. Le 8 novembre, alors que les Alliés débarquent en Afrique du nord,  il se trouve amarré au quai Lamoune sous le commandement du capitaine de corvette Lavigne , lorsque deux bâtiments anglais tentent de forcer l’entrée du port. La "Surprise "bloque le passage du "HMS Walney", ouvre le feu et touche les machines du bâtiment anglais. L’aviso parvient à sortir du port mais se trouve rapidement sous le feu de la flotte alliée. Faiblement armée, la "Surprise "se bat avec courage mais une salve du "HMS Brilliant "achève l’aviso qui coule au large de la plage des Andalouses. Les survivants sont mitraillés par les navires anglais,toutefois certains sont sauvés grâce à l’intervention d’un navire américain qui les ramène à terre. Mais le bilan est lourd, 55 hommes sont morts au nombre desquels François Carrot et 21 blessés.

Son épouse, toute jeune veuve en pleine guerre, fait une grave dépression et ne se remariera jamais, elle aura toujours pour souci d’honorer la mémoire de son mari en parlant de lui à sa fille , à ses petits-enfants , en leur montrant les photos et les lettres qu’elle avait conservées. Sa fille, qui n’avait que cinq ans à sa mort, en sera marquée toute sa vie et restera fragile.

Il est cité à l’ordre de l’Armée de Mer : « au cours de l’attaque de l’Afrique du nord le 8/11/1942 par les forces anglo-américaines très supérieures, a combattu jusqu’au sacrifice total donnant à tous un magnifique exemple de courage et d’abnégation »

Il a reçu la médaille militaire à titre posthume pour faits de guerre le 3 février 1943

Son nom figure sur le monument aux morts du Guilvinec.