Albert est le fils d'Antoine Marie Costaouec, marin pêcheur, et de Marie Louise Sigogne, cultivatrice. Albert est l'aîné d'une fratrie de deux enfants. Il passe son enfance avec sa demi-sœur, son père et sa belle-mère, et tante, au lieu-dit Kermen, près de la plage de Kerfany, à l'embouchure de la rivière Belon, en Moëlan-sur-Mer. Il fait sa scolarité à l'école primaire de Kergroës de cette commune.

Le 14 août 1922, alors qu'il n'a que 14 ans, Albert est autorisé à embarquer sur les navires de commerce. Il est inscrit provisoire au quartier maritime de Concarneau sous le matricule n° 17025 – Doëlan, en tant que fils d'inscrit maritime.

A 20 ans, Albert est appelé pour effectuer son service militaire dans la Marine nationale. Il est incorporé le 19 janvier 1928 au "3^e dépôt des équipages" à Lorient comme inscrit maritime. Il est toutefois immatriculé aux équipages de la flotte comme matelot de 3^e classe sans spécialité, sous le matricule n° 359 B 28. A l'issue de sa formation maritime et militaire, il va suivre le cours de spécialité secrétaire militaire. Breveté élémentaire, il est affecté le 1^er avril 1928 comme permanent à "l’École des fusiliers marins", implantée à Lorient. Il est nommé matelot de 2^e classe le 1^er juillet 1928. Le 19 juin 1930, il est renvoyé dans ses foyers et se retire à Kermen en Moëlan-sur-Mer. Le 7 juillet 1930, il reçoit le certificat de bonne conduite avec la mention : Très bonne.

En août 1930, Albert embarque à Dunkerque comme matelot sur le cargo "Bermudes" pour une navigation au long cours. Après deux années de navigation, il débarque en juin 1932. Il embarque alors à Doëlan, comme matelot, à la petite pêche sur le canot "Sidi Brahim". Il conserve cette profession de marin pêcheur jusque 1939.

Albert, se marie le 11 septembre 1937 à la mairie de la commune de Moëlan-sur-Mer avec Claire Marie Joséphine Scaviner (1910-1982). De cette union naissent deux enfants : Marcel (1938-2011) et Jean-Claude (1939).

A la déclaration de guerre contre l'Allemagne, Albert est rappelé sous les drapeaux. Le 25 novembre 1939, il rejoint le "2^e Dépôt des équipages" à Brest. Le 1^er février 1940, il est affecté à la "Défense du littorale" du Port de Brest. La "2^e Escadrille d’avisos" de la Défense du littoral à Brest est composée des navires : sept avisos de 800 tonnes, dont le "Vauquois".

Le 17 juin 1940, le maréchal Pétain annonce aux Français qu'il cherche les moyens de mettre fin aux hostilités. Les colonnes motorisées allemandes accélérèrent alors leur progression vers Brest pour pouvoir s'emparer du port et de la Flotte avant toute conclusion de la négociation d'armistice qui s'annonçait. Le 18 juin, le port ne pouvant être défendu faute de moyens, le commandement décide son évacuation par voie maritime. Cette évacuation n'avait pas été préparée, elle s'est donc effectuée dans la plus grande confusion. Les bâtiments des "Forces maritimes de l'Ouest" appareillèrent sous les ordres de l'Amiral de Laborde vers l'Afrique du Nord ou l'Angleterre. Des hommes disponibles à terre et du personnel de l'arsenal parvinrent à embarquer sur tous les navires ou embarcations en état de prendre la mer. Ainsi dans la soirée du 18 juin, un convoi de trois bâtiments se forme en vue de rejoindre la Grande-Bretagne. Il s'agit des avisos "Somme", "Vauquois" et "Suippe". Le convoi franchit le goulet avec de multiples passagers en surnombre, et embouque le chenal du Four. Le "Vauquois", qui est en deuxième position, heurte une mine à proximité de la roche Grande Vinotière, il se casse en deux parties, et coule en quelques minutes. L'explosion a provoqué la perte du bâtiment et la mort, ou la disparition, de 132 personnes, dont le matelot Costaouec Albert.

Il a disparu en mer le 18 juin 1940 lors de la perte de l’aviso "Vauquois". Son corps a été retrouvé le 7 juillet 1940 dans les parages de l’île Bannalec, dans l'archipel de Molène. L'acte de décès a été dressé à la mairie de Le Conquet.

Par jugement du Tribunal civil de Quimperlé, rendu le 10 avril 1941, la nation a adopté les mineurs : Costaouec Jean Claude né le 12 septembre 1939 à Moëlan-sur-Mer, et Costaouec Marcel, né le 16 juillet 1938 à Moëlan-sur-Mer, fils d’Albert et de Scaviner Claire Marie Joséphine.

La Médaille militaire a été conféré, à titre posthume, par décret du 21 juin 1951, à Monsieur Costaouec Albert, matelot secrétaire, matricule n° 359 - B - 28, "Mort pour la France". Ce marin a été cité à l'ordre du Corps d'Armée par ordre du 15 mai 1951 en ces termes : "Tombé glorieusement pour la France à son poste de combat". Cette citation comporte l'attribution de la Croix de guerre 1939-1945, avec étoile de vermeil.