Il est le fils de Pierre Costard et de Julie Mathurine Marie Rebuffet. Ses parents sont domiciliés à Lorient, 32 cours de la Bôve. Son père exerce la profession d'horloger-bijoutier. Paul a un frère aîné nommé Pierre Costard né en 1886 qui fera carrière dans l'armée de terre.

Paul passe son enfance à Lorient où il fait sa scolarité. Il poursuit ses études secondaires au collège à Rennes (Ille et Vilaine).

A l'âge de 19 ans Paul s'engage dans la Marine nationale pour une durée de trois ans. Il est incorporé le 12 avril 1913 au "3^e Dépôt des équipages" à Lorient comme apprenti marin. A l'issue de la formation militaire et maritime, il est admis à suivre le cours de spécialité fourrier à Lorient au sein du dépôt des équipages. Le 1^er juillet 1914, il est nommé matelot de 2^e classe breveté fourrier sédentaire.

Volontaire pour une unité combattante, Paul est enfin affecté le 26 octobre 1915,  à la "Brigade fusiliers marins" qui prend part aux combats contre l'Allemagne en Belgique dans le secteur de Nieuport. Le groupe formé au dépôt des équipages de Lorient prend le train pour Paris, puis Dunkerque. Il poursuit à pieds jusqu'à Coxyde et rejoint le 2^e Bataillon installé au camp Jeannion. Le 5 octobre Paul part au front où il découvre l'activité dans les tranchées.

Le 1^er décembre 1915, la "Brigade de Fusiliers marins", est dissoute et l'unité de fusiliers marins est réduite au niveau d'un bataillon. Le "Bataillon de fusiliers marins" comprend trois compagnies d'infanterie, une compagnie de pontonniers et huit sections de mitrailleuses. Il est alors intégré à la "29^e Division d'infanterie" dépendant du "1^er Corps d’Armée". Paul prend part aux combats de la bataille de l'Yser dans le secteur de Nieuport. Le 20 juillet 1916, il est nommé quartier-maître breveté fourrier.

Paul est cité à l'ordre du régiment par décision du 14 février 1917 en ces termes : "Costard Paul, quartier-maître fourrier, 25991-3. Le 2 février, s'est offert volontairement pour participer à une patrouille particulièrement dangereuse sur un terrain recouvert de neige et par nuit très claire."

Le "Bataillon de fusiliers marins", prend part de juillet à octobre 1917 à la bataille de Langewaede sur le canal de l'Yser en Belgique.

En mars et avril 1918, le "Bataillon des fusiliers marins", qui a quitté la Belgique, prend part aux combats qui se déroulent à proximité du village de Hailles, au confluent de l'Avre et de la Luce, dans le secteur d'Amiens (Somme). Paul est cité une deuxième fois à l'ordre du régiment par décision du 1^er mai 1918 en ces termes : "A pris part valeureusement aux attaques des Flandres des 1^er, 16 août et 27 octobre 1917. S'est distingué dans les combats du 4 au 18 avril sur l'Avre par ses qualités guerrières et son impassibilité sous le feu." Après la seconde bataille de la Somme le "Bataillon est fusiliers marins" est envoyé au repos dans le secteur de Verdun, puis il revient à Zuydcoote, près de Dunkerque, où il travaille à l'organisation du camp retranché.

Le 25 août 1918 le "Bataillon de fusiliers marins" repart au combat. De nouveau intégré à la "29^e Division d'infanterie", il rejoint le secteur de Craone dans le département de l'Aisne. Il a pour mission d'attaquer en direction de l’Est la charnière de la ligne Hindenburg. Le 14 septembre 1918, à 5 h 30, le "Bataillon de fusiliers marins" qui est en première ligne depuis le 9 septembre, opérant avec la "29^e Division d’infanterie", encadrée à droite par la "128^e Division" et à gauche par la "1^re Division marocaine", reçoit l’ordre d’attaquer. Alors qu’il fait encore nuit, un passage est ouvert à travers les réseaux de défense. A 5 h 58, le bataillon, triomphant de la résistance ennemie, atteint le lieu-dit "Moulin de Laffaux". Paul est tué au cours de ces combats.

Il est cité une troisième fois à l'ordre du régiment, et inscrit au tableau spécial de la médaille militaire en ces termes : "fait preuve d'une grande bravoure et rempli ses fonctions de chef de liaison d'une façon parfaite. Mort pour la France à l'attaque du 14 septembre 1918."

Le corps de Paul est inhumé provisoirement près de carrière de Fruty située à quelques centaines de mètres de Laffaux. Après la guerre, la famille Costard fait rapatrier sa dépouille à Lorient pour être inhumé dans le caveau familial au cimetière de la ville.

Le nom de Paul Costard est inscrit au Mémorial de Sainte-Anne d'Auray (Morbihan) des Bretons morts pour la France durant la grande Guerre 1914-1918.