François Drogou est entré à l’Ecole Navale en 1923, il en sort en 1925 avec le grade d’enseigne de vaisseau de 2^e classe. Affecté sur le croiseur "Jeanne d’Arc" jusqu’en septembre 1926, il sert sur le cuirassé "Paris" avant d’être promu enseigne de vaisseau de 1^re classe. Pendant un an jusqu’en octobre 1928, il est affecté sur le torpilleur "Enseigne Gabolde" puis pendant quelques mois sur le cuirassé "Condorcet". D’avril 1929 à mai 1931 François Drogou sert sur le croiseur "Primauguet" avant de recevoir en 1932 ses galons de lieutenant de vaisseau. Il se spécialise alors dans l’arme sous-marine et sert successivement à bord des sous-marins "Argo", "Oréade",  "Monge" avant de commander d’août 1937 à juillet 1939 le sous-marin "Orion". Pendant les premiers mois suivant la déclaration de guerre de 1939, il est affecté à la "3^e Escadrille de sous-marins" et en février 1940, il est nommé commandant du sous-marin de 900 tonnes "Narval" qui opère en Méditerranée.

Le 25 juin 1940, refusant la défaite de la France, il laisse à Sousse les 31 marins de son équipage qui abandonnent la lutte et fait route vers Malte où il rallie son sous-marin à la France Libre ; "Trahi sur toute la ligne, je rallie un port anglais" avait-il télégraphié avant son départ. Rallié au général de Gaulle, avec son état-major et la majeure partie de son équipage aux Forces navales françaises libres, il garde le commandement du "Narval".

Après quelques heurts avec les Anglais, le "Narval" effectue une première patrouille avec le sous-marin "HMS Rorqual", en septembre-octobre 1940, puis une seconde fin octobre début novembre entre l’île de Lampedusa et les îles Kerkennah jusqu’au 3 novembre.                      

Le 2 décembre1940, le commandant Drogou repart en mission, mais le "Narval" saute sur une mine le 15 décembre dans la région de Kerkennah et disparaît corps et biens.

Capitaine de corvette depuis août, François Drogou est nommé capitaine de frégate à titre posthume le 1er janvier 1941. Il a reçu la citation suivante à l'ordre de l'armée de Mer : "Embarqué sur le sous-marin Narval, a glorieusement disparu le 15 décembre 1940 avec son bâtiment au cours d'une patrouille en Méditerranée".

Un navire de la Marine Nationale et une rue de Brest perpétuent la mémoire du commandant Drogou